Calculo Integral

HISTORIA

            Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del  cálculo de fluxiones y  fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.

            El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc.Tal formulación general creció inusualmente  rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.

            Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.

            Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales.

            Euler, partiendo del concepto de integral indefinida como básico, introdujo un sistema completo de definiciones.  La integral, junto con una constante aditiva arbitraria, la denominó total. La fijación de una constante arbitraria conducía a una integral parcial. El valor de esta última, para cierto valor determinado del argumento, daba el equivalente a la integral definida. Esta sucesión armoniosa resultó imposible de mantener en las cuestiones aplicadas. El necesario cambio del símbolo de Leibniz   para el caso de la integración definida tampoco fue encontrado inmediatamente. El símbolo al que estamos acostumbrados y que ya nos parece tan natural   fue encontrado por Founier sólo en los años 1819-1822.

            En el curso del desarrollo del Cálculo Integral surgió una serie de problemas de carácter especial. Los esfuerzos en su resolución condujeron a la elaboración de nuevas ramas del Análisis Matemático, estas últimas, tarde o temprano se separaron de su fuente inicial, el Cálculo Integral del siglo XVIII.

            El cálculo de integrales  de tipos especiales ya a comienzos de siglo conllevó al descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales como por ejemplo la Función Beta    

Y la función Gamma 

Si es un número natural, entonces

             Esto dio a Euler base para la definición generalizada de factorial

 

             Entre as muchas integrales especiales se puede señalar el logaritmo integral

                        

La cual adquirió junto con la función   un gran significado en la teoría analítica de los números.

              Laplace consideró las integrales con límites imaginarios.

              Esta rama del Cálculo Integral jugó un papel importante en la creación  de la teoría de funciones de variable compleja como una de sus fuentes. Así en el transcurso del siglo XVIII se formó en el Cálculo Integral un conjunto de métodos, próximo a su actual contenido y nivel. Este Cálculo, además, dio comienzo a nuevas ramas del Análisis Matemático, como por ejemplo la teoría de las funciones especiales. De él se separaron y transformaron en campos matemáticos independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo variacional. El Cálculo integral sirvió,  finalmente, como una de las fuentes de la teoría de las funciones analíticas.

     

Formulario

Función primitiva o antiderivada

Función primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada.

F'(x) = f(x)

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Linealidad de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Ejemplo

Integral de cero

Si la función a integrar es x, las fórmula de integración es:

Ejemplos:

Ejemplos utilizando la fórmula:

Integral utilizando las fórmulas fundamentales 

Ejemplos:

1.- 

2.-

3.-

Videos:

Integracion Basica 

https://www.youtube.com/watch?v=H3G08Aj0sLE